Beschränktheit

Beschränkte Funktionen und gleichmäßige Beschränktheit

Gleichmäßige Beschränktheit

Der Begriff gleichmäßige Beschränktheit wird nur auf Mengen von Funktionen angewandt, also Mengen von Funktionen mit derselben Definitionsmenge X und demselben Wertevorrat M.Meist spricht man dann von Familien von Funktionen oder, falls die Familie abzählbar unendlich ist, von einer Funktionenfolge.

Sei X eine beliebige Menge. Dann heißt eine Familie von auf X definierten, reellwertigen Funktionen gleichmäßig beschränkt, wenn es eine reelle Zahl S gibt, für die gilt: . Das heißt, S ist eine gemeinsame obere Schranke für die Werte der Beträge aller Funktionen aus .

Offensichtlich kann eine Familie von Funktionen höchstens dann gleichmäßig beschränkt sein, wenn jede einzelne Funktion der Familie beschränkt ist. Für jede einzelne Funktion existiert daher die Supremumsnorm . Eine Familie von Funktionen ist nun genau dann gleichmäßig beschränkt, wenn sie als Menge von Funktionen bezüglich der Supremumsnorm beschränkt ist.

Dies wird auf vektorwertige Funktionen verallgemeinert: Dabei ist X eine beliebige Menge, V ein reeller oder komplexer normierter Raum mit der Norm . Man bezeichnet die Menge der auf X definierten Funktionen, die bezüglich der Norm in V beschränkt sind, als B(X) und führt auf B(X) mit eine Norm ein, die B(X) wiederum zu einem normierten Raum macht. Dann ist eine Familie von auf X definierten Funktionen genau dann gleichmäßig beschränkt, wenn sie eine Teilmenge von B(X) ist und als Teilmenge von beschränkt ist.

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