Beschränktheit

Analysis

In der Analysis heißt eine Teilmenge S der reellen Zahlen nach oben beschränkt, genau dann wenn es eine reelle Zahl kmit für alle s aus S gibt. Jede solche Zahl k heißt obere Schranke von S. Die Begriffe nach unten beschränkt und untere Schranke sind analog definiert.

Die Menge S heißt beschränkt, wenn sie nach oben beschränkt und nach unten beschränkt ist.Folglich ist eine Menge beschränkt, wenn sie in einem endlichen Intervall liegt.

Daraus ergibt sich der Zusammenhang: Eine Teilmenge S der reellen Zahlen ist genau dann beschränkt, wenn es eine reelle Zahl R gibt, so dass | x | < R für alle x aus S gilt. Man sagt dann, S läge in der offenen Kugel (d. h. einem offenen Intervall) um 0 mit Radius R.

Im Falle ihrer Existenz nennt man die kleinste obere Schranke das Supremum von S, die größte untere Schranke das Infimum.

Eine Funktion heißt beschränkt auf X, wenn ihre Bildmenge f(X) eine beschränkte Teilmenge von ist.

Eine Teilmenge S der Komplexen Zahlen heißt beschränkt, wenn die Beträge jedes Elementes von S eine bestimmte Schranke R nicht überschreiten. Das heißt, die Menge S ist in der abgeschlossenen Kreisscheibe enthalten. Eine komplexwertige Funktion heißt beschränkt, wenn ihre Bildmenge beschränkt ist.

Ganz entsprechend wird der Begriff in den n-dimensionalen Vektorräumen bzw. definiert: Eine Teilmenge dieser Räume heißt beschränkt, wenn die Norm ihrer Elemente eine gemeinsame Schranke nicht überschreitet. Diese Definition ist unabhängig von der speziellen Norm, da alle Normen in endlichdimensionalen normierten Räumen zum gleichen Beschränktheitsbegriff führen.

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