Banachalgebra

Grundlagen

Maximale Ideale

Sei A eine kommutative -Banachalgebra mit Einselement. Ist , so ist ein maximales Ideal (mit Kodimension 1). Ist umgekehrt ein maximales Ideal, so ist der Abschluss M wegen der Offenheit der Gruppe der invertierbaren Elemente ein echtes Ideal, also muss M = M gelten. Dann ist die Quotientenalgebra A/M eine Banachalgebra, die ein Körper ist, und dieser muss nach dem Satz von Gelfand-Mazur isomorph zu sein. Daher ist die Quotientenabbildung ein multiplikatives Funktional mit Kern M.Bezeichnet man also die Menge der maximalen Ideale mit Max(A), so hat man eine bijektive Abbildung:

Es besteht damit eine bijektive Beziehung zwischen der Teilmenge X_A des Dualraums und der rein algebraisch definierten Menge der maximalen Ideale.

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