Banachalgebra

Grundlagen

Das Spektrum

In der linearen Algebra spielt die Menge der Eigenwerte einer Matrix eine wichtige Rolle bei der Untersuchung der Matrizen, d.h. der Elemente der Banachalgebra .Dies verallgemeinert sich zum Begriff des Spektrums:

Sei A eine -Banachalgebra mit Einselement. Für ist das Spektrum von a, , kompakt und nach dem Satz von Gelfand-Mazur nicht leer. Für den Spektralradius gilt die Formel .Diese Formel ist erstaunlich, da der Spektralradius eine rein algebraische Größe ist, die lediglich den Begriff der Invertierbarkeit verwendet, die rechte Seite der Spektralradiusformel hingegen ist durch die Norm der Banachalgebra gegeben.

Für den Rest dieses Abschnitt sei A kommutativ mit Einselement. Die Menge X_A aller multiplikativen Funktionale bezeichnet man als das Spektrum von A, oder nach Gelfand auch als Gelfand-Spektrum oder Gelfand-Raum von A. Das Spektrum von A ist ein kompakter Raum und die Gelfand-Transformation vermittelt einen Homomorphismus von A in die Banachalgebra der stetigen komplexwertigen Funktionen auf X_A . Jedem Element wird so eine stetige Funktion zugeordnet, wobei . Das Spektrum eines Elementes und das Spektrum der Algebra hängen dann über die Formel zusammen. Das ist im Artikel über die Gelfand-Transformation ausgeführt.

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