Banachalgebra

Grundlagen

Es werden einige Grundlagen der Theorie der Banachalgebren besprochen, die ein Zusammenspiel zwischen algebraischen und topologischen Eigenschaften zeigen.

Das Einselement

Viele der oben genannten Beispiele sind Banachalgebren ohne ein Einselement. Wird dennoch ein Einselement benötigt, so kann man eines adjungieren. In vielen Fällen gibt es in diesen Banachalgebren Approximationen der Eins; dies ist ein topologisches Konstrukt, das oft einen Ersatz für das fehlende Einselement darstellt.Das gilt insbesondere für C*-Algebren und die Gruppenalgebren L¹ (G).

Die Gruppe der invertierbaren Elemente

Ist A eine Banachalgebra mit Einselement 1, so ist die Gruppe A^-1 der invertierbaren Elemente offen. Ist nämlich invertierbar und mit , so ist auch a invertierbar, denn leicht überlegt man sich, dass konvergiert und das Inverse zu a ist. Ferner ist das Invertieren als Abbildung auf der Gruppe der invertierbaren Elemente stetig. Daher ist A^-1 eine topologische Gruppe.

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