Banachalgebra

Beispiele

• Jeder Banachraum wird mit der Null-Multiplikation, d.h. xy=0 für alle Elemente x, y des Banachraums, zu einer Banachalgebra.
• Sei K ein kompakter Raum und der Raum der stetigen Funktionen . Mit den punktweise Operationen und der durch f^* (x) := f(x) (komplexe Konjugation) definierten Involution und der Supremumsnorm wird zu einer kommutativen C^*-Algebra.
• Sei D der Einheitkreis in . Es sei A(D) die Algebra mit stetigen Funktionen , die im Inneren von D holomorph sind. Mit den punktweise Operationen und der durch f^* (x) := f(z) (komplexe Konjugation) definierten Involution und der Supremumsnorm wird A(D) zu einer kommutativen Banach-*-Algebra, die keine C^*-Algebra ist. Diese Banachalgebra nennt man auch die Diskalgebra.
• Ist V ein Banachraum, so ist die Algebra B(V) der stetigen, linearen Operatoren auf V eine Banachalgebra, die im Falle dim(v) > 1 nicht kommutativ ist. Ist V ein Hilbertraum, so ist B(V) eine C^*-Algebra.
• Die Spurklasse und die Hilbert-Schmidt-Klasse, oder allgemeiner die Schatten-Klassen, sind Beispiele für nicht-kommutative Banach-*-Algebren, die keine C^*-Algebren sind.
• In der harmonischen Analyse werden die Banach-*-Algebren L¹(G), d.h. die Faltungsalgebren über einer lokalkompakten Gruppe G betrachtet.
• H*-Algebren sind involutive Banachalgebren, die gleichzeitig Hilberträume sind, zusammen mit einer Zusatzbedingung, die die Involution mit der Hilbertraumstruktur verknüpft.

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