Banach-Tarski-Paradoxon

Das Banach-Tarski-Paradoxon oder auch Satz von Banach und Tarski ist eine Aussage der Mathematik, die demonstriert, dass sich der anschauliche Volumenbegriff nicht auf beliebige Punktmengen verallgemeinern lässt. Danach kann man eine Kugel in drei oder mehr Dimensionen derart zerlegen, dass sich ihre Teile wieder zu zwei lückenlosen Kugeln zusammenfügen lassen, von denen jede denselben Durchmesser hat wie die ursprüngliche. Das Volumen verdoppelt sich, ohne dass anschaulich ersichtlich ist, wie durch diesen Vorgang Volumen aus dem Nichts entstehen können sollte. Dieses Paradoxon demonstriert, dass das mathematische Modell des Raumes als Punktmenge in der Mathematik Aspekte hat, die sich in der physischen Realität nicht wiederfinden.

Erklärt wird das Paradoxon mathematisch formal damit, dass die Kugelteile dermaßen kompliziert geformt sind, dass ihr Volumen nicht mehr definierbar ist. Man bezeichnet solche Punktmengen als nicht messbar. Sie sind in einem gewissen Sinne unendlich filigran und porös bzw. staubwolkenartig. Die mathematische Existenz solcher Mengen ist nicht selbstverständlich: Zum Beweis der Existenz von nicht messbaren Teilmengen im d-dimensionalen, reellen Raum benötigt man das Auswahlaxiom oder schwächere Formen davon, die nicht aus der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre herleitbar sind. Das Auswahlaxiom wird zwar von einer überwiegenden Mehrheit der Mathematiker, jedoch nicht von allen, akzeptiert. Messbare Punktmengen hingegen verhalten sich hinsichtlich ihres Volumens additiv.

Die polnischen Mathematiker Stefan Banach und Alfred Tarski führten 1924 einen mathematischen Existenzbeweis und zeigten, dass im Fall der Kugel eine Zerlegung in nur sechs Teile ausreichend sei. Unmöglich hingegen ist ein konstruktiver Beweis im Sinne einer Handlungsanweisung, wie eine Kugel tatsächlich in sechs Teile zu zerschneiden ist, um diese in zwei Kugeln gleichen Volumens zusammensetzen zu können.

In einer allgemeineren Formulierung dieses Satzes können sich Ausgangs- und Endkörper durch einen beliebigen Volumenfaktor unterscheiden und bis auf gewisse Einschränkungen auch beliebige, verschiedene Gestalt besitzen. Die allgemeine Formulierung dieses mathematischen Satzes in Räumen mit drei und mehr Dimensionen lautet:

Sei eine ganze Zahl und seien beschränkte Mengen mit nicht-leerem Inneren. Dann gibt es eine natürliche Zahl n und eine disjunkte Zerlegung X₁ , ..., X_n von X und zugehörige Bewegungen derart, dass Y die disjunkte Vereinigung der Mengen ist.

In der Ebene ist dieser Satz nicht gültig. 1990 konnte Miklós Laczkovich jedoch zeigen, dass dieser Satz für Flächen zumindest in ähnlicher Form gilt. Danach sind zwei gleich große Flächen mit hinreichend glattem Rand ebenfalls zerlegungsgleich. In diesem Sinne ist beispielsweise eine Quadratur des Kreises möglich, wenn auch nicht mit Zirkel und Lineal. Die Anzahl der für eine konstruktive Lösung erforderlichen Teile wurde von Laczkovich auf etwa 10⁵⁰ geschätzt, wobei die Größen der größeren Teilstücke nach Laczkovich nicht eindeutig festgelegt wurden.

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