Banach-Raum

Dualer Raum

Ist V ein Banach-Raum und K der zugrundeliegende Körper, dann ist K selbst ebenfalls ein Banach-Raum (mit dem Absolutbetrag als Norm), und man kann den dualen Raum definieren durch V' = L(V, K).Dieser ist wiederum ein Banach-Raum. Er kann verwendet werden, um eine Topologie auf V zu definieren: die schwache Topologie. Die schwache Topologie ist nicht äquivalent zur Normtopologie auf V, wenn der Raum V unendlichdimensional ist. Aus der Konvergenz einer Folge in der Normtopologie folgt immer die Konvergenz in der schwachen Topologie, umgekehrt im Allgemeinen nicht. In diesem Sinne ist die Konvergenzbedingung, die sich aus der schwachen Topologie ergibt, "schwächer".

Es gibt eine natürliche Abbildung F von V nach V'' = (V')' = L(V', K) (der Bidualraum), definiert durch: für alle x aus V und f aus V'. Aus dem Satz von Hahn-Banach folgt, dass für jedes x aus V die Abbildung stetig ist und daher ein Element von V''. Die Abbildung F ist stets injektiv und stetig (sogar isometrisch);falls sie zudem noch surjektiv ist (und somit ein isometrischer Isomorphismus), so nennt man den Banach-Raum V reflexiv. Reflexive Banachräume haben viele wichtige geometrische Eigenschaften.

Ein Banach-Raum ist reflexiv genau dann wenn sein Dualraum reflexiv ist. Äquivalent zu diesen Aussagen ist weiterhin, dass die Einheitskugel von V in der schwachen Topologie kompakt ist.

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