Banach-Raum

Ableitungen

Es ist möglich die Ableitung einer Funktion zwischen zwei Banachräumen zu definieren. Intuitiv sieht man, dass, falls x ein Element von V ist, die Ableitung von f im Punkt x eine stetige lineare Abbildung ist, die f nahe x in der Ordnung des Abstandes | h | approximiert.

Man nennt f (Fréchet)-differenzierbar in x, falls eine stetige lineare Abbildung existiert, so dass

gilt. Der Grenzwert wird hier über alle Folgen mit nicht-Null-Element aus V gebildet, die gegen 0 konvergieren.Falls der Grenzwert existiert, schreibt man Df(x) = A und nennt es die (Fréchet)-Ableitung von f in x. Weitere Verallgemeinerungen der Ableitung ergeben sich analog zur Analysis auf endlichdimensionalen Räumen. Gemeinsam für alle Ableitungsbegriffe ist aber die Frage nach der Stetigkeit der linearen Abbildung Df(x)

Dieser Begriff der Ableitung ist eine Verallgemeinerung der gewöhnlichen Ableitung von Funktionen , da die linearen Abbildungen von auf einfach Multiplikationen mit reellen Zahlen sind.

Falls f differenzierbar ist in jedem Punkt x aus V, dann ist eine weitere Abbildung zwischen Banachräumen (im Allgemeinen keine lineare Abbildung!) und kann möglicherweise erneut differenziert werden, wodurch die höheren Ableitungen von f definiert werden. Die n-te Ableitung im Punkt x kann somit als multilineare Abbildung gesehen werden.

Differentiation ist eine lineare Operation im folgenden Sinne: Sind f und g zwei Abbildungen V - W, die in x differenzierbar sind, und r und s sind Skalare aus K, dann ist rf + sg differenzierbar in x mit D(rf + sg)(x) = rD(f)(x) + sD(g)(x).

Die Kettenregel ist in diesem Zusammenhang ebenfalls gültig. Wenn eine in und eine in f(x) differenzierbare Funktion ist, dann ist die Komposition in x differenzierbar und die Ableitung ist die Komposition der Ableitungen

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