Bairstow-Verfahren

Merkmale des Verfahrens

Polynome mit reellen Koeffizienten wie z. B. x² + 1 können auch komplexe Nullstellen haben. Mit Verfahren wie der Regula Falsi und dem Newton-Verfahren, die nur eine Nullstelle finden, ist es nicht möglich, komplexe Nullstellen zu finden, ohne dass auch die Berechnung im Komplexen mit komplexer Arithmetik ausgeführt wird. Das Bairstow-Verfahren nutzt die Eigenschaft von Polynomen mit reellen Koeffizienten, die besagt, dass komplexe Nullstellen immer paarweise konjugiert auftreten. Das Verfahren findet die Nullstellen als Paar und liefert eine quadratische Gleichung mit reellen Koeffizienten, aus der ein reelles oder komplex konjugiertes Nullstellenpaar bestimmt werden kann.

Die Merkmale des Verfahrens in der Zusammenfassung:

• Bei einem Polynom mit reellen Koeffizienten arbeitet das Bairstow-Verfahren vollständig im Reellen und
• findet auch eventuell auftretende, paarweise konjugiert komplexen Nullstellen (a + bi und a - bi).
• Die Nullstellenberechnung wird auch Programmen zugänglich, die mit komplexer Arithmetik nicht umgehen können
• Eine Iteration in reeller Arithmetik ist erheblich schneller als eine Iteration in komplexer Arithmetik.

Das Bairstow-Verfahren ist aus dem Newton-Verfahren abgeleitet und konvergiert wie dieses (lokal) mit 2. Ordnung.

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