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Bairstow-Verfahren\begin{pmatrix}p_0r_0+p_1(a_0r_1-a_1r_0)\\p_0r_1-p_1r_0\end{pmatrix} | |
| Beispiel | |
Bairstow-Verfahren
Beispiel
Es sollen die Nullstellen des folgenden Polynoms bestimmt werden:
-
.
Die Startwerte der Iteration bestimmt man beispielsweise aus der Empfehlung
Die Iteration liefert folgende Werte:
| Nr. | a1 | a0 | Schrittweite | Nullstellen |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1.833333333333 | -5.500000000000 | 5.579008780071 | -0.916666666667+-2.517990821623 |
| 1 | 2.979026068546 | -0.039896784438 | 2.048558558641 | -1.489513034273+-1.502845921479 |
| 2 | 3.635306053091 | 1.900693009946 | 1.799922838287 | -1.817653026545+-1.184554563945 |
| 3 | 3.064938039761 | 0.193530875538 | 1.256481376254 | -1.532469019881+-1.467968126819 |
| 4 | 3.461834191232 | 1.385679731101 | 0.428931413521 | -1.730917095616+-1.269013105052 |
| 5 | 3.326244386565 | 0.978742927192 | 0.022431883898 | -1.663122193282+-1.336874153612 |
| 6 | 3.333340909351 | 1.000022701147 | 0.000023931927 | -1.666670454676+-1.333329555414 |
| 7 | 3.333333333340 | 1.000000000020 | 0.000000000021 | -1.666666666670+-1.333333333330 |
| 8 | 3.333333333333 | 1.000000000000 | 0.000000000000 | -1.666666666667+-1.333333333333 |
Nach der 8. Iteration wurden a1 und a0 des Näherungspolynoms im Rahmen der Rechengenauigkeit exakt bestimmt. Die Lösung ergibt sich dann aus dem Polynom
Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind auch Lösungen des Polynoms f(x) :
Wenn man nun diese beiden Nullstellen dem Polynom f(x) abdividiert, kann das quadratische Polynom gleich als Startwert für die nächste Iteration verwendet werden.
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