Bairstow-Verfahren

Das Bairstow-Verfahren ist ein Iterationsverfahren der numerischen Mathematik und dient dazu, die Nullstellen eines Polynoms zu bestimmen. Das Verfahren wurde zuerst 1920 von Leonard Bairstow (1880–1963) im Anhang seines Buches "Applied Aerodynamics" vorgestellt.

Jedes Polynom mit reellen Koeffizienten kann in ein Produkt aus linearen und quadratischen irreduziblen Faktoren mit ebenfalls reellen Koeffizienten zerlegt werden (Fundamentalsatz der Algebra nach Gauß, 1799). Die linearen Faktoren entsprechen reellen Nullstellen, die quadratischen konjugierten Paaren echt komplexer Nullstellen. Gibt es mehr als eine reelle Nullstelle, so können die linearen Faktoren leicht zu quadratischen kombiniert werden. Um nun das Rechnen mit komplexen Zahlen zu vermeiden, kann man nach quadratischen reellen Faktoren suchen. Das Bairstow-Verfahren ist, neben der reellen Variante des Jenkins-Traub-Verfahrens, eine Möglichkeit, solche quadratischen Faktoren zu approximieren. Die reellen oder komplexen Nullstellen dieses quadratischen Faktors können dann mit der bekannten Formel zum Lösen quadratischer Gleichungen bestimmt werden. Weitere Nullstellen können aus dem verbleibenden Polynom nach Abspalten des quadratischen Faktors gewonnen werden.

Wie jedes iterative Verfahren hängt der Erfolg und die schnelle Konvergenz von der Wahl eines guten Startpunktes, das heißt eines initialen quadratischen Polynoms ab, das schon fast ein Faktor des Polynoms sein sollte. Die Güte bestimmt sich dabei aus der Größe des Restes nach Polynomdivision. Im Falle eines zufällig gewählten Startpunktes ergibt sich ein Verhalten, wie es im Newton-Fraktal visualisiert wird. Hat das zu lösende Polynom mehrfache Nullstellen oder dicht beeinanderliegende Cluster von Nullstellen, so kann dieses Verfahren daran scheitern, diese zu finden.

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