Axiomensystem

Eigenschaften von Axiomensystemen

Wir bezeichnen im Folgenden wie üblich die Ableitbarkeitsrelation des zugrundegelegten logischen Kalküls (Sequenzenkalkül, Kalkül des natürlichen Schließens) mit ; sei die zugehörige Inferenzoperation, die also jeder Menge M von Axiomen die zugehörige Theorie T = Cn(M) zuordnet.

Die Inferenzoperation ist ein Hüllenoperator, d.h. es gilt insbesondere Cn(T) = Cn(Cn(M)) = Cn(M) (Idempotenz des Hüllenoperators).

Deshalb sind Theorien deduktiv abgeschlossen, man kann also nichts Weiteres aus T herleiten, was nicht schon aus M beweisbar wäre. M nennt man auch eine Axiomatisierung von T.

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