Axiomensystem

Axiomatisches System und Gödelscher Unvollständigkeitssatz

Die Gödelschen Unvollständigkeitssätze von 1931 sprechen über höchstens rekursiv aufzählbar axiomatisierte Theorien, die in der Logik erster Stufe formuliert sind. Es wird ein vollständiger und korrekter Beweiskalkül vorausgesetzt. Der erste Satz sagt aus: Falls die Axiome der Arithmetik widerspruchsfrei sind, dann ist die Arithmetik unvollständig. Es gibt also mindestens einen Satz , so dass weder noch seine Negation ¬ in der Arithmetik beweisbar sind. Des Weiteren lässt sich zeigen, dass jede Erweiterung der Axiome, die rekursiv aufzählbar bleibt, ebenfalls unvollständig ist. Damit ist die Unvollständigkeit der Arithmetik ein systematisches Phänomen und lässt sich nicht durch eine einfache Erweiterung der Axiome beheben. Der zweite Unvollständigkeitssatz sagt aus, dass sich insbesondere die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik nicht im axiomatischen System der Arithmetik beweisen lässt.

Die Unvollständigkeitssätze werden in der Literatur gerne fehlinterpretiert. Dies wird im Folgenden kommentiert:

1. Es ist möglich, die Arithmetik vollständig zu axiomatisieren. Die Theorie ist eine vollständige, widerspruchsfreie Erweiterung der bekannten Peano-Axiome. Infolge der Unvollständigkeitssätze ist diese Theorie aber nicht rekursiv aufzählbar.
2. Es gibt vollständige, widerspruchsfreie, rekursiv aufzählbare Axiomensysteme, Diese können aber keine Erweiterung der Arithmetik sein; insbesondere ist es in derartigen Systemen nicht möglich, über dieses System selbst zu reden. Sie sind damit nicht so ausdrucksstark, wie die volle Arithmetik mit 0, Nachfolger, Addition und Multiplikation. Ein einfaches Beispiel für ein derartiges, schwaches System ist die Arithmetik nur mit 0 und Nachfolger.
3. Die Nichtbeweisbarkeit der eigenen Widerspruchsfreiheit in der Arithmetik ist keine absolute Grenze des formalen Denkens. So hat etwa Gerhard Gentzen gezeigt, dass man die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik beweisen kann (in einem formalen System), wenn man die Möglichkeiten des Systems etwas erweitert. Damit zeigen die Unvollständigkeitssätze lediglich, dass man ein stärkeres System benötigt, um die Widerspruchsfreiheit eines schwächeren Systemes zu beweisen.
4. Die Voraussetzung der Widerspruchsfreiheit für die Unvollständigkeitssätze ist wesentlich. Zum einen kann sie innerhalb der Arithmetik nicht bewiesen werden; zum anderen würde aus der Inkonsistenz der Axiome sofort folgen, dass jeder Satz beweisbar wäre. Damit wäre die Arithmetik vollständig und insbesondere wäre auch der Satz, der die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik aussagt, bewiesen.
5. Setzt man die Mengenlehre voraus, kann man mit den Natürlichen Zahlen ein Modell der Arithmetik angeben. Damit ist die Widerspruchsfreiheit der Arithmetik gezeigt. Jedoch ist die Mengenlehre ihrerseits ein axiomatisches System, das ausdrucksstärker als die Arithmetik ist. Damit ist sie selbst wieder unvollständig und sie kann wiederum ihrerseits nicht ihre eigene Konsistenz beweisen.

Hier noch einige Beispiele aus der Literatur:

• Nach dem 1931 von Gödel bewiesenem Gödel-Theorem (auch: Unvollständigkeitssatz) ist es für ein mathematisches formales System „unmöglich, zugleich dessen Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit zu beweisen“. "Kein adäquates Axiomensystem der Theorie eines unentscheidbaren Kalküls ist absolut-vollständig."
• Die Gödelschen Unvollständigkeitssätze "beweisen die Grenzen formalistischen Denkens und die Grenzen unseres Erkenntnisvermögens" und zeigen eine „absolute Grenze“ der formalen Logik".
• „Die angesprochene Unvollständigkeit der Arithmetik beispielsweise bedeutet folgendes: Für jede nur denkbare Formalisierung der elementaren Arithmetik gilt, dass es in ihr Sätze gibt, die in dieser Formulierung weder beweisbar noch widerlegbar sind. Mit anderen Worten: Es gibt in jeder dieser Formalisierungen Sätze A mit der Eigenschaft, dass sich weder A noch ¬ A beweisen lässt."

Siehe auch

• Aussage
• Axiom
• Axiomatisierung
• Begriffssystem
• Beweis
• Entscheidbar
• Euklid
• Formales System
• Widerspruchsfreiheit

Quellen