Inhalt

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Axiomensystem der reellen Zahlen

Das Axiomensystem der reellen Zahlen besteht aus drei Arten von Axiomen:

• Körperaxiome
• Anordnungsaxiome
• Vollständigkeitsaxiom

Die reellen Zahlen werden dann als diejenige Menge charakterisiert, die obige Axiome erfüllen.

Körperaxiome

Die Körperaxiome fordern, dass es sich bei den reellen Zahlen um einen kommutativen Körper handeln soll.

Es existieren also zwei binäre Operationen, die Addition + und die Multiplikation . Üblicherweise lässt man den Punkt () weg und die Klammersetzung erfolgt nach den Regeln Punktrechnung vor Strichrechnung.

Im Einzelnen sollen folgende Regeln für diese Operationen gelten

Assoziativgesetze

Für alle gilt.

Existenz neutraler Elemente

Es existieren zwei ausgezeichnete reelle Zahlen 0 und 1, so dass für alle gilt:

a + 0 = a und .

Existenz inverser Elemente

Zu jedem existiert ein mit

Wenn a verschieden von 0 ist gibt es ein a^-1 mit

Für a^-1 schreibt man auch .

Kommutativgesetze

Für alle gilt:

a + b = b + a und .

Distributivgesetz

Mit den obigen Axiomen gelten für die reellen Zahlen alle Eigenschaften, die für alle Körper gelten.

Insbesondere sind die neutralen und inversen Elemente eindeutig bestimmt (siehe Satz 5827A für Gruppen).

Auf Grund dieses Axiomensystems kann man in den reellen Zahlen rechnen wie in jedem Körper. Man kann sukzessive alle bekannten Rechenregeln herleiten.

Satz 16L4 (Folgerungen aus den Körperaxiomen)

Es seien , dann gilt:

1. 
2. 
3. Die Gleichung a + x = b hat bei gegebenen a, b (und gesuchtem x) genau eine Lösung, nämlich x = b - a. Insbesondere ist das additive Inverse zu a (als Lösung der Gleichung a + x = 0) eindeutig bestimmt. Es gilt außerdem - ( - a) = a, weil sowohl - ( - a) als auch a additive Inverse zu - a sind.
4. Die Gleichung ax = b hat für gegebenes und genau eine Lösung, nämlich . Insbesondere ist das multiplikative Inverse a^-1 eindeutig bestimmt und (a^-1 )^-1 = a.
5. Es ist genau dann, wenn gilt.

Beweis

(i) , d.h. die reellen Zahlen und sind gleich. Also sind auch und gleich. D.h. .

(ii) = (x + ( - x))y = xy + (( - x)y). Addition von - xy zu beiden Zahlen liefert die Behauptung - (xy) = ( - x)y.

(iii) + (iv) Gilt in allen Körpern.

(v) Aus (i) folgt: xy = 0, falls x = 0 oder y = 0.

Ist andererseits xy = 0 und , so können wir beide Seiten mit x^-1 multiplizieren. Es folgt: . Nach (i) ist , also . Somit folgt y = 0. Ebenso sehen wir: ist xy = 0 und , so ist x = 0. Es können also, falls xy = 0 ist, nicht beide Faktoren sein.

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

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