Auswahlaxiom

Zum Auswahlaxiom äquivalente Sätze

Setzt man die ZF-Axiome voraus, dann gibt es eine Vielzahl an wichtigen Sätzen, die zum Auswahlaxiom äquivalent sind. Die wichtigsten darunter sind das Lemma von Zorn und der Wohlordnungssatz. Zermelo führte das Auswahlaxiom ein, um den Beweis des Wohlordnungssatzes zu formalisieren. Die Namen „Lemma“ und „Satz“ rühren daher, dass diese Formulierungen nicht so unmittelbar einsichtig erscheinen wie das Auswahlaxiom selbst.

• Mengenlehre
• Wohlordnungssatz: Jede Menge kann wohlgeordnet werden.
• Wenn A eine unendliche Menge ist, dann haben A und die gleiche Kardinalität.
• Trichotomie: Zwei Mengen haben entweder gleiche Kardinalität oder eine der beiden Mengen hat eine kleinere Kardinalität als die andere.
• Das kartesische Produkt einer nichtleeren Familie von nichtleeren Mengen ist nicht leer.
• Satz von König: Vereinfacht: Die Summe einer Folge von Kardinalzahlen ist echt kleiner als das Produkt einer Folge von größeren Kardinalzahlen.
• Jede surjektive Funktion hat ein Rechts-Inverses.
• Lemma von Teichmüller-Tukey: Ist M eine nichtleere Menge von endlichem Charakter, so gibt es bezüglich der Mengeninklusion ein maximales Element.
• Ordnungstheorie
• Lemma von Zorn: Jede nichtleere halbgeordnete Menge, in der jede Kette (d.h. jede total geordnete Teilmenge) eine obere Schranke hat, enthält mindestens ein maximales Element.
• Hausdorffs Maximalkettensatz: In einer geordneten Menge kann jede Kette zu einer maximalen Kette erweitert werden.
• Hausdorffs Maximalkettensatz (abgeschwächt): In einer geordneten Menge existiert mindestens eine maximale Kette.
• Algebra
• Jeder Vektorraum hat eine Basis.
• Jeder Ring mit Einselement, der nicht der Nullring ist, hat ein maximales Ideal.
• Graphentheorie
• Jeder (unendliche) ungerichtete, zusammenhängende Graph hat einen Spannbaum.
• Topologie
• Satz von Tychonoff: Das Produkt kompakter Räume ist selbst kompakt.
• In der Produkt-Topologie: Der Abschluss eines Produktes von Teilmengen ist gleich dem Produkt der Abschlüsse der Teilmengen.
• Das Produkt von vollständigen uniformen Räumen ist vollständig.

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