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Formelsammlung Mathe |
Inhalt
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Grundlagen der Mathematik
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Bezeichnungen- Elementarmathematik- Logik- Aussagenlogik- Aussagen, Formeln und 
Tautologien
Aussagenlogische Formeln Tautologien Äquivalenz von Formeln Disjunktive Normalformen Adäquate Verknüpfungszeichen- Die Theorie L- Prädikatenlogik Formale Theorien- Modelltheorie Ableitung Gödelscher Unvollständigkeitssatz- Mengenlehre- Zahlenbereiche- Diskrete Mathematik- Algebra- Lineare Algebra- Geometrie- Analysis- Differentialgleichungen- Funktionalanalysis- Differentialgeometrie- Topologie- Numerik- Stochastik- Unsortiertes- Anbieterkennzeichnung
Aussagen, Formeln und Tautologien
Allgemein ausgedrückt, ist eine Aussage ein sprachliches Konstrukt, dem man genau einen der beiden Wahrheitswerte wahr oder falsch zuordnen kann. Diesen Grundsatz bezeichnet man als tertium non datur - wörtlich, aus dem Lateinischen übersetzt, bedeutet es "ein Drittes ist nicht gegeben".
Einige Beispiele für einfache Aussagen:
- Die Straße ist nass. (falsche Aussage)
- Jena liegt an der Saale. (wahre Aussage)
- Hamburg liegt in Thüringen. (falsche Aussage)
Aus einer Aussage kann man mit Hilfe der Negation - ausgedrückt mit dem Wort nicht - eine neue Aussage erzeugen:
- Die Straße ist nicht nass. (wahre Aussage)
- Jena liegt nicht an der Saale. (falsche Aussage)
Die Verknüpfung zweier Aussagen durch eine Konjunktion - ausgedrückt mit dem Wort und - ist eine neuen Aussage: Jena liegt an der Saale und die Straße ist nicht nass; (wahre Aussage).
Ebenso können zwei Aussagen durch eine Disjunktion - ausgedrückt mit dem Wort oder zu einer neuen Aussage verknüpft werden: Jena liegt an der Saale oder die Straße ist nicht nass; (wahre Aussage).
- Umgangssprachlich versteht man unter 'oder' oft ein "entweder ... oder" (genau eine der beiden Aussagen ist wahr). In der Logik hingegen ist die Disjunktion zweier Aussagen wahr, wenn mindestens eine der beiden Aussagen wahr ist. Eine Disjunktion ist also auch wahr, wenn beide Aussagen wahr sind.
Zwei weitere Möglichkeiten der Verknüpfung von zwei Aussagen zu einer neuen Aussage sind die Implikation und die Äquivalenz. Die Implikation wird mit der Konstruktion wenn ... dann ausgedrückt: Wenn die Straße nass ist, dann liegt Hamburg in Thüringen; (wahre Aussage).
Bei der Äquivalenz verwendet man die sprachliche Konstruktion genau dann, wenn: Jena liegt an der Saale genau dann, wenn Hamburg in Thüringen liegt; (falsche Aussage).
Jedoch will man in der Logik nicht mit (u.U. mehrdeutigen) sprachlichen Konstrukten arbeiten und überträgt daher die Aussagen in eine andere, eigene Sprache - diesen Vorgang bezeichnet man als Formalisierung.
Seit der Zeit der Griechen bedeutet "Mathematik" zu sagen, "Beweis" zu sagen.
N. Bourbaki
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