Ausgleichungsrechnung

Ausgleichung und Approximationstheorie

Da kleine Widersprüche in allen redundanten, auf Zuverlässigkeit geprüften Daten auftreten (siehe auch Überbestimmung), ist der Umgang mit diesen meist statistisch verteilten Restabweichungen zur wichtigen Aufgabe in verschiedenen Wissenschaften und der Technik geworden. Neben der glättenden Wirkung auf streuende Daten wird die Ausgleichungsrechnung auch zur Milderung von Diskrepanzen etwa in den Sozialwissenschaften verwendet.

Diese Suche nach den naturnahen, wahrscheinlichsten Werten von Systemen oder Messreihen ist in der Sprache der Approximationstheorie die Schätzung von unbekannten Parametern eines mathematischen Modells. Die dabei meist verwendete Methode der kleinsten Quadrate (engl. least mean squares oder kurz least squares) entspricht dem Gauß-Markow-Modell. Im einfachsten Fall hat eine Ausgleichung zum Ziel, eine größere Anzahl empirischer Mess- oder Erhebungsdaten durch eine Kurve zu beschreiben und die Restabweichungen (Residualkategorie) zu minimieren. Eine solche Kurvenanpassung kann auch erstaunlich genau freiäugig-grafisch durch Betrachten der Datenreihe durchgeführt werden, was die naturnahe Charakteristik der „Quadratabweichungsminimierung“ unterstreicht.

Die Ausgleichungsrechnung wurde um 1800 von Carl Friedrich Gauß für ein Vermessungsnetz der Geodäsie und für die Bahnbestimmung von Planetoiden entwickelt. Seither werden Ausgleichungen in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften durchgeführt, bisweilen auch in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften. Die Ausgleichung nach dem Gauß-Markow-Modell liefert das „bestmögliche“ Ergebnis, wenn die Residuen zufällig sind und einer Normalverteilung folgen. Unterschiedlich genaue Messwerte werden durch Gewichtung abgeglichen.

Enthalten die Messungen oder Daten allerdings auch systematische Einflüsse oder grobe Fehler, dann ist das „ausgeglichene“ Ergebnis verfälscht und die Residuen weisen einen Trend hinsichtlich der Störeinflüsse auf. In solchen Fällen sind weitere Analysen erforderlich wie etwa eine Varianzanalyse oder die Wahl eines „robusten Schätzverfahrens“.

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