Archimedischer Körper

Definition

Informelle Beschreibung

Die archimedischen Körper sind konvexe Polyeder (Vielflächner), deren Seitenflächen regelmäßige Vielecke sind. Die charakteristische Eigenschaft der archimedischen Körper ist, dass sich alle Ecken des Körpers zueinander völlig gleich verhalten (Uniformität der Ecken). Dabei treten einige einfache Fälle auf, die man schon unter anderen Namen kennt, nämlich Prismen, Antiprismen und die fünf platonischen Körper. Diese drei Gruppen werden nicht als archimedische Körper bezeichnet.

Die exakte Definition der Uniformität der Ecken bereitet einige Mühe und war in der Vergangenheit nicht immer einheitlich.

Exakte Definition

Zunächst betrachtet man alle konvexen Polyeder, deren Seitenflächen regelmäßige Polygone sind, und die die globale Uniformität der Ecken erfüllen:

Die Symmetriegruppe des Polyeders operiert transitiv auf seinen Ecken.

Das bedeutet anschaulich:

Zu jedem Paar (a, b) von Ecken des Polyeders ist es möglich, das Polyeder so zu drehen und zu spiegeln, dass die Ecke a dort zu liegen kommt, wo zuvor die Ecke b war, und die beiden Positionen des Polyeders vor und nach der Drehung nicht zu unterscheiden sind.

Es gibt mehrere einfache Klassen von konvexen Polyedern, die alle diese Eigenschaften erfüllen:

• Die fünf platonischen Körper.
• Alle Prismen, die aus genau zwei kongruenten regelmäßigen n-Ecken und n Quadraten bestehen. Zu jeder natürlichen Zahl n größer gleich drei existiert ein solches Prisma. An einer Ecke treffen stets ein n-Eck und zwei Quadrate zusammen. Im Fall n = 4 ergibt sich ein Würfel, also ein platonischer Körper.
• Alle Antiprismen, die aus genau zwei kongruenten n-Ecken und 2n gleichseitigen Dreiecken bestehen. Zu jeder natürlichen Zahl n größer gleich drei existiert ein solches Antiprisma. An einer Ecke treffen stets ein n-Eck und drei Dreiecke zusammen. Im Fall n = 3 ergibt sich ein Oktaeder, also ein platonischer Körper.

Die archimedischen Körper sind nun definiert als alle konvexen Polyeder mit regelmäßigen Seitenflächen, die die globale Uniformität der Ecken erfüllen und nicht in eine dieser drei genannten Klassen fallen.

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