Antikette

Klärung des Begriffs

Definition

Eine Teilmenge A einer (teilweise) geordneten Menge ist eine Antikette genau dann, wenn A in Bezug auf die gegebene Ordnungsrelation die Eigenschaft hat, dass für je zwei verschiedene Elemente a und b von A weder noch gilt. Das bedeutet: Betrachtet man die Ordnungsrelation nur innerhalb der Teilmenge A, so findet man dort keine zwei miteinander in Relation stehenden Elemente. Innerhalb der Antikette A ist also die Situation entgegengesetzt der Situation, welche in einer Kette der (teilweise) geordneten Menge gegeben ist. Dies motiviert die Begriffsbildung.

Veranschaulichung

Vom Begriff der Antikette erhält man eine gute Anschauung bei Betrachtung des Hasse-Diagramms der (teilweise) geordneten Menge . Antiketten erkennt man im Hasse-Diagramm als solche Teilmengen, für die keine zwei ihrer Elemente durch einen gerichteten Kantenzug verbunden sind.

Zusammenhang Antiketten – Ketten

Charakteristisch ist, dass die aus einer Antikette und einer Kette gebildete Schnittmenge innerhalb stets Mächtigkeit hat, also stets aus höchstens einem Element besteht. So lässt sich der Begriff demnach auch fassen: Eine Teilmenge A einer (teilweise) geordneten Menge ist genau dann eine Antikette, wenn A keine Kette von in zwei oder mehr Elementen schneidet.

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