Analytische Zahlentheorie

Teilgebiete und typische Probleme

Theorie der Dirichletreihen

Zu einer Summe

,

die man untersuchen möchte, betrachtet man die von der zahlentheoretischen Funktion f erzeugte Dirichletreihe

.

Oft lässt sich die Summe näherungsweise als Integral über F(s) ausdrücken (durch eine inverse Mellin-Transformation), oder man erhält ihren Grenzwert für x gegen unendlich als Grenzwert von F(s) für s gegen 0 durch einen Taubersatz. Daher bildet die Untersuchung von Dirichletreihen und ihren Verallgemeinerungen (z.B. der Hurwitzschen Zetafunktion) ein Teilgebiet der Zahlentheorie.

Multiplikative Zahlentheorie

Insbesondere führt die Betrachtung des Falls f = 1 und der zugehörigen Dirichletreihe (der Riemannschen Zetafunktion) zum Primzahlsatz, der die Anzahl der Primzahlen unterhalb einer gegeben Schranke angibt. Die Untersuchung des Fehlerterms ist ein offenes Problem, da die Lage der Nullstellen der Zetafunktion unbekannt ist (Riemannsche Vermutung). Ähnliche Methoden sind auch auf andere multiplikative Funktionen anwendbar und ergeben Aussagen über deren Werteverteilung (zum Beispiel über die Häufigkeit von abundanten Zahlen).

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert auf dem Artikel Analytische Zahlentheorie aus der freien Enzyklοpädιe Wιkιpedιa und steht unter der Lizenz Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported (Kurzfassung). Liste der Autoren

Anbieterkennzeichnung