Analysis

Teilgebiete der Analysis

Differentialrechnung

Bei einer linearen Funktion bzw. einer Geraden

g(x) = mx + c

heißt m die Steigung und c der y-Achsen-Abschnitt oder Ordinatenabschnitt der Geraden. Hat man nur 2 Punkte (x₀ , y₀ ) und (x₁ , y₁ ) auf einer Geraden, so kann die Steigung berechnet werden durch

Bei nicht linearen Funktionen wie z. B. f(x) = x² kann die Steigung so nicht mehr berechnet werden, da diese Kurven beschreiben und somit keine Geraden sind. Jedoch kann man an einen Punkt (x₀ , f(x₀ )) eine Tangente legen, die wieder eine Gerade darstellt. Die Frage ist nun, wie man die Steigung einer solchen Tangente an einer Stelle x₀ berechnen kann. Wählt man eine Stelle x₁ ganz nahe bei x₀ und legt eine Gerade durch die Punkte (x₀ , f(x₀ )) und (x₁ , f(x₁ )), so ist die Steigung dieser Sekante nahezu die Steigung der Tangente. Die Steigung der Sekante ist (s. o.)

Diesen Quotienten nennt man den Differenzenquotienten oder mittlere Änderungsrate. Wenn wir nun die Stelle x₁ immer weiter an x₀ annähern, so erhalten wir per Differenzenquotient die Steigung der Tangente. Wir schreiben

und nennen dies die Ableitung oder den Differentialquotienten von f in x₀ .Der Ausdruck bedeutet, dass x immer weiter an x₀ angenähert wird, bzw. dass der Abstand zwischen x und x₀ beliebig klein wird. Wir sagen auch: „x geht gegen x₀ “. Die Bezeichnung lim steht für Limes.

f´(x₀ ) ist der Grenzwert des Differenzenquotienten.

Es gibt auch Fälle, in denen dieser Grenzwert nicht existiert. Deswegen hat man den Begriff Differenzierbarkeit eingeführt. Eine Funktion f heißt differenzierbar an der Stelle x₀ , wenn der Grenzwert existiert.

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