Algebra

Klassische und moderne Algebra

Die Algebra teilt man bezüglich ihrer Entstehung in die klassische und die moderne Algebra ein. Methoden der Algebra, die bis in das 19. Jahrhundert hinein entwickelt wurden, rechnet man der klassischen Algebra zu. In ihr untersuchte man algebraische Gleichungen

a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + dotsb + a₁ x + a₀ = 0,

auf Eigenschaften ihrer Lösungen. Wichtige Aussagen im Bereich der klassischen Algebra sind der von Gauß bewiesene Fundamentalsatz der Algebra, der besagt, dass eine algebraische Gleichung der Ordnung n in genau n Lösungen hat, und der Satz von Abel, der besagt, dass es für eine algebraische Gleichung 5. Grades im Allgemeinen keine Lösungsformel ähnlich der PQ-Formel gibt.

Im 19. Jahrhundert entwickelte Évariste Galois die nach ihm benannte Galoistheorie. Diese kann als der Beginn der modernen Algebra verstanden werden. Seit dieser Zeit entwickelte sich die Algebra weg von der Theorie der algebraischen Gleichungen hin zur Gruppen- und Ringtheorie.

Am Beispiel des großen fermatschen Satzes sieht man allerdings, dass sich die klassische und die moderne Algebra nicht klar trennen lassen. Die Vermutung, dass die algebraische Gleichung aⁿ + bⁿ = cⁿ mit für n > 2 keine ganzzahlige Lösung besitzt, wurde schon im 17. Jahrhundert von Pierre de Fermat formuliert. Die in der Vermutung enthaltene Fragestellung nach Lösungen der Gleichung ist eine typische Fragestellung der klassischen Algebra beziehungsweise der in dieser Zeit entstandenen Zahlentheorie. Jedoch konnte die Vermutung erst 1995 mit moderneren Methoden der algebraischen Geometrie und der algebraischen Zahlentheorie bewiesen werden.

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