Addition

Addition in verschiedenen Mengen

Die Addition kann ohne Ausnahme innerhalb der Mengen der natürlichen, der ganzen, der rationalen und der reellen Zahlen ausgeführt werden. Auch andere Mengen wie die der komplexen Zahlen besitzen eine Verknüpfung, die als Addition bezeichnet wird, weil sie denselben formalen Rechenregeln genügt.

Addition nennt man eine Reihe mathematischer Verknüpfungen, die alle die folgenden Eigenschaften haben:

• Sie sind assoziativ und kommutativ
• Sie erfüllen zusammen mit einer Multiplikation das Distributivgesetz

In den meisten Fällen ergibt die Addition zusammen mit ihrer Definitionsmenge eine abelsche Gruppe. Wichtigste Ausnahme ist die Addition auf den natürlichen Zahlen, wegen der wie oben erwähnt fehlenden Inversen (negativen Zahlen).

Ausgehend von den Peano-Axiomen lässt sich die Addition auf den natürlichen Zahlen folgendermaßen definieren:

• n + 0 = n
• n + m' = (n + m)'
n'

bezeichnet den Nachfolger von n, der aufgrund der Peano-Axiome eindeutig bestimmt ist. Da 1 der Nachfolger von 0 ist, gilt

• n + 1 = n + 0' = (n + 0)' = n'

Der Nachfolger von n stimmt also mit n + 1 überein.

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